Главная › Математика ›
Модель межотраслевого баланса Леонтьева: вопросы для самопроверки по дисциплине «Математика»
Теория и разбор каждого вопроса открыты целиком. Скрыт только верный вариант: выберите его сами, а проверка покажет, совпал ли выбор.
Теория по теме
Модель межотраслевого баланса, предложенная Василием Леонтьевым, описывает экономику как систему из n отраслей, каждая из которых одновременно производит продукцию и потребляет продукцию других отраслей и свою собственную. Главная задача модели — увязать то, что отрасли выпускают, с тем, что они расходуют друг на друга и что остаётся для использования вне производственной сферы. Для этого используются три группы величин: валовой выпуск, межотраслевые поставки и конечный продукт.
Валовой выпуск отрасли с номером i обозначают x_i; это весь объём продукции, произведённой ею за период, обычно в денежном выражении. Из этих величин составляют вектор-столбец X. Межотраслевая поставка x_ij — часть продукции i-й отрасли, израсходованная в j-й отрасли в процессе производства; сумма таких поставок по всем потребителям образует промежуточное потребление продукции i-й отрасли. Оставшаяся часть y_i идёт на личное и общественное потребление, накопление, экспорт и называется конечным продуктом, или конечным спросом; из этих величин образуют вектор Y. Балансовое соотношение для каждой отрасли утверждает, что валовой выпуск целиком распределяется на промежуточное и конечное потребление: x_i = x_i1 + x_i2 + … + x_in + y_i.
Чтобы превратить систему балансовых равенств в рабочий инструмент, вводят коэффициенты прямых материальных затрат a_ij = x_ij / x_j. Такой коэффициент показывает, сколько продукции i-й отрасли требуется для производства единицы продукции j-й отрасли; в стоимостном балансе его же можно читать как долю затрат продукции i-й отрасли в валовом выпуске отрасли j. Важно, что делят на выпуск отрасли-потребителя, а не отрасли-поставщика: первый индекс указывает, чья продукция расходуется, второй — где она расходуется. Принимается гипотеза линейности: коэффициенты считаются постоянными на рассматриваемом промежутке времени, то есть затраты растут пропорционально выпуску. Из коэффициентов составляют квадратную матрицу A, которую называют матрицей прямых затрат, или технологической матрицей; все её элементы неотрицательны.
Подставив x_ij = a_ij x_j в балансовые равенства, получают матричную запись X = AX + Y. Произведение AX — вектор промежуточного потребления, так что уравнение по-прежнему выражает одно и то же: выпуск равен сумме производственных затрат и конечного продукта. Перенеся AX влево, приходят к форме (E − A)X = Y, где E — единичная матрица. Если матрица E − A невырожденная, то X = (E − A)^(-1) Y. Этой формулой решают основную задачу планирования: по заданному конечному спросу находят необходимые валовые выпуски. Обратная задача проще: при известном X конечный продукт вычисляется прямо как Y = (E − A)X.
Матрицу S = (E − A)^(-1) называют матрицей коэффициентов полных затрат. Её элемент s_ij показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли, чтобы обеспечить единицу конечного продукта j-й отрасли. Отличие от прямых затрат принципиально: прямые затраты учитывают только непосредственный расход продукции при изготовлении единицы товара, полные же включают и косвенные затраты — расход на производство тех материалов, которые сами используются в производстве, и так далее по всей цепочке. Это видно из разложения S = E + A + A² + A³ + …, справедливого для продуктивной матрицы: каждое слагаемое добавляет затраты очередного порядка. Поэтому диагональные элементы S не меньше единицы, а остальные не меньше соответствующих прямых коэффициентов.
Не всякая неотрицательная матрица A задаёт работоспособную экономику. Матрицу называют продуктивной, если для любого неотрицательного вектора Y уравнение X = AX + Y имеет неотрицательное решение X. Равносильный критерий: матрица (E − A)^(-1) существует и все её элементы неотрицательны. Именно продуктивность технологической матрицы гарантирует, что балансовая модель имеет экономически осмысленное решение; одной невырожденности E − A мало, поскольку формально найденные выпуски могут оказаться отрицательными. Удобный достаточный признак: если суммы элементов каждого столбца матрицы A не превосходят единицы и хотя бы в одном столбце сумма строго меньше единицы, матрица продуктивна. По смыслу это означает, что отрасли тратят на производство меньше, чем выпускают.
Пусть в двухотраслевой экономике A имеет строки (0,2; 0,3) и (0,4; 0,1), а конечный спрос Y = (60; 30). Тогда E − A имеет строки (0,8; −0,3) и (−0,4; 0,9), её определитель равен 0,72 − 0,12 = 0,6. Обратная матрица получается делением матрицы со строками (0,9; 0,3) и (0,4; 0,8) на 0,6; все её элементы положительны, значит, A продуктивна. Умножая на Y, находим x_1 = (0,9·60 + 0,3·30)/0,6 = 105 и x_2 = (0,4·60 + 0,8·30)/0,6 = 80. Проверка: первая отрасль расходует 0,2·105 + 0,3·80 = 45 единиц на промежуточные нужды, и 105 − 45 = 60 остаётся на конечный спрос.
Контрпример: если a_11 = 1,1, то первая отрасль на единицу своего выпуска тратит больше единицы собственной продукции, и никакой положительный конечный продукт невозможен — матрица непродуктивна. Таким образом, при работе с моделью следует различать три матрицы: A описывает технологию, E − A связывает выпуск с конечным продуктом, а (E − A)^(-1) показывает полные потребности в выпуске на единицу конечного спроса.
Учебники по теме
- Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. — 2014.
- Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. — 2008.
- Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. — 2011.
Вопросы для самопроверки
1. Что характеризует элемент a_ij матрицы прямых затрат в модели межотраслевого баланса?
Разбор вопроса 1
На что опирается вопрос. Вопрос опирается на определение a_ij = x_ij / x_j и на смысл каждого из двух индексов.
Как рассуждать. Отсейте формулировки, где говорится о конечном продукте или о полных потребностях, и проверьте, какая отрасль поставляет, а какая потребляет.
Ключ к вопросу — порядок индексов и знаменатель в определении a_ij = x_ij / x_j. Первый индекс обозначает отрасль, чья продукция расходуется, второй — отрасль, где она расходуется, а нормировка ведётся на единицу выпуска потребляющей отрасли. Варианты нужно сравнивать по двум признакам: речь идёт о производственном расходе, а не о конечном продукте, и о непосредственных затратах, а не о полных. Частая ошибка — перестановка ролей поставщика и потребителя либо подмена прямых затрат полными.
2. Вторая отрасль при валовом выпуске 200 денежных единиц израсходовала в производстве продукцию первой отрасли на 50 денежных единиц. Чему равен коэффициент прямых затрат a_12?
Разбор вопроса 2
На что опирается вопрос. Коэффициент прямых затрат — это отношение межотраслевой поставки к валовому выпуску отрасли-потребителя.
Как рассуждать. Результат должен быть безразмерной долей; проверьте, не перевёрнута ли дробь и не выполнено ли вычитание вместо деления.
Здесь нужно применить формулу a_ij = x_ij / x_j к конкретным данным. В условии названы объём поставки из первой отрасли во вторую и валовой выпуск отрасли-потребителя; именно их отношение и требуется. Сравнивая варианты, проверьте, что результат получился безразмерной долей меньше единицы, как это свойственно работающей экономике. Типичные промахи — перевернуть дробь, поделив выпуск на поставку, или вместо деления выполнить вычитание, получив остаток выпуска.
3. Какое матричное равенство задаёт модель Леонтьева, если A — матрица прямых затрат, X — вектор валового выпуска, Y — вектор конечного продукта?
Разбор вопроса 3
На что опирается вопрос. Тема — матричная форма межотраслевого баланса. Подумайте, какой вектор получается при умножении матрицы затрат на вектор выпуска и какую величину в модели делят на две части.
Как рассуждать. Посмотрите, на какой вектор умножается матрица A и какая величина представлена как сумма двух частей.
Матричное уравнение — это сжатая запись балансовых равенств x_i = Σ a_ij x_j + y_i. Ключевой признак верной записи: матрица A умножается на вектор валового выпуска, потому что затраты пропорциональны объёму производства, а не конечному спросу. Кроме того, выпуск должен стоять отдельно, как сумма двух частей — производственного расхода и конечного продукта. Ошибаются обычно, меняя местами X и Y или перенося слагаемое с неверным знаком.
4. К какому виду приводится уравнение межотраслевого баланса после переноса вектора промежуточного потребления в левую часть (E — единичная матрица)?
Разбор вопроса 4
На что опирается вопрос. Используется тождество X = EX, которое позволяет вынести вектор выпуска за скобку.
Как рассуждать. Проверьте знак перед матрицей A, порядок вычитания в скобке и то, какой вектор стоит рядом со скобкой.
Преобразованная форма получается из исходного уравнения переносом слагаемого AX в левую часть и вынесением вектора X за скобку справа. При вынесении вместо числа 1 появляется единичная матрица E, поскольку X = EX. Варианты стоит сравнивать по трём признакам: знак перед A, порядок вычитания в скобке и то, какой вектор умножается на скобку. Чаще всего путают знак или меняют местами выпуск и конечный продукт, получая формулу для другой задачи.
5. При каком условии матрицу прямых затрат A называют продуктивной?
Разбор вопроса 5
На что опирается вопрос. Вопрос относится к критериям продуктивности в модели Леонтьева. Вспомните, через какую матрицу выражают валовой выпуск по заданному конечному продукту и какими по знаку обязаны получаться выпуски.
Как рассуждать. Отбросьте условия, которые касаются только внешнего вида матрицы A и не связаны с разрешимостью уравнения относительно X.
Продуктивность — свойство матрицы A, означающее, что экономика способна обеспечить любой неотрицательный конечный спрос неотрицательными выпусками. Поскольку выпуск выражается через конечный продукт с помощью обращения матрицы E − A, критерий формулируется именно в терминах этой обратной матрицы и знаков её элементов. Сравнивая варианты, отбрасывайте условия на саму A, не связанные с разрешимостью системы. Распространённая ошибка — считать достаточной одну лишь невырожденность.
6. Какая из матриц прямых затрат второго порядка, заданных строками, является продуктивной?
Разбор вопроса 6
На что опирается вопрос. Здесь нужна практическая проверка продуктивности без вычисления обратной матрицы. Исходите из того, что ни одна отрасль не должна расходовать на единицу своей продукции больше, чем эта единица стоит.
Как рассуждать. Сложите элементы каждого столбца и сравните с единицей; в сомнительных случаях посмотрите на знак определителя матрицы E − A.
Для проверки удобно использовать достаточный признак: суммы элементов по столбцам матрицы A не должны превосходить единицы, причём хотя бы одна сумма строго меньше единицы. Столбец отвечает отрасли-потребителю, поэтому складывать нужно по вертикали, а не по строкам. Если признак не выполняется, сомнительную матрицу стоит проверить через определитель E − A: его отрицательность для матрицы второго порядка говорит о непродуктивности. Отдельно обратите внимание на диагональные элементы, превышающие единицу.
7. Как в стоимостном межотраслевом балансе толкуется коэффициент прямых материальных затрат a_ij?
Разбор вопроса 7
На что опирается вопрос. Раздел — определение коэффициентов прямых затрат. Разберитесь, какой индекс обозначает отрасль-поставщика, какой — отрасль-потребителя, и на чей выпуск делят межотраслевой поток.
Как рассуждать. Определите, какие две величины соотносятся: что стоит в числителе и выпуск какой отрасли в знаменателе.
В стоимостном балансе все величины измерены в деньгах, поэтому отношение x_ij / x_j становится безразмерным и допускает толкование как удельный вес. Ключевой вопрос — удельный вес чего и в чём: числитель относится к продукции поставщика, израсходованной в производстве, знаменатель — к выпуску потребителя. Сравнивайте варианты по тому, какие две величины соотносятся. Нередко путают этот коэффициент с долей конечного продукта или с простым отношением двух выпусков.
8. Первая отрасль с валовым выпуском 120 поставила третьей отрасли продукцию на 36 единиц, а валовой выпуск третьей отрасли равен 90. Найдите коэффициент прямых затрат a_13.
Разбор вопроса 8
На что опирается вопрос. В формуле коэффициента прямых затрат знаменателем служит выпуск той отрасли, на которую указывает второй индекс.
Как рассуждать. Одно из чисел в условии лишнее; решите, какая отрасль потребляет продукцию, и возьмите именно её выпуск.
В условии намеренно даны два валовых выпуска, хотя для расчёта нужен только один. Коэффициент a_13 относит поставку из первой отрасли в третью к выпуску той отрасли, на которую указывает второй индекс, то есть потребителя. Поэтому сначала определите, какая отрасль расходует продукцию, и возьмите её выпуск в знаменатель. Самая частая ошибка — деление на выпуск поставщика: получится доля продукции первой отрасли, ушедшая в третью, а это другая величина.
9. Как называют матрицу (E − A)^(-1), обратную к матрице E − A в модели Леонтьева?
Разбор вопроса 9
На что опирается вопрос. Вспомните, какая матрица стоит в формуле, выражающей валовой выпуск через конечный спрос, и что учитывают её элементы.
Как рассуждать. Исключите названия, которые закреплены за самой матрицей A, и то, что вообще является вектором, а не матрицей.
Важно различать три матрицы модели: A, E − A и обратную к последней. Обратная матрица возникает в формуле X = (E − A)^(-1) Y и пересчитывает конечный спрос в необходимые валовые выпуски, учитывая всю цепочку производственных связей, а не только непосредственный расход. Название должно отражать именно эту совокупность прямых и косвенных затрат. Ошибка возникает, когда термины, относящиеся к матрице A, переносят на обратную матрицу.
10. В матрице S = (E − A)^(-1) элемент s_21 равен 0,4. Что это означает?
Разбор вопроса 10
На что опирается вопрос. Речь о коэффициентах полных затрат, которые, в отличие от прямых, учитывают всю цепочку поставок. Следите за порядком индексов: первый и второй обозначают разные роли отраслей.
Как рассуждать. Отсейте толкования, описывающие непосредственный расход или долю конечного продукта, затем проверьте порядок индексов.
Элемент s_ij обратной матрицы читается по тому же правилу индексов, что и в формуле X = SY: строка соответствует отрасли, чей выпуск определяется, столбец — отрасли, для которой задаётся единица конечного продукта. Значит, нужно понять, какая отрасль здесь «производит», а какая «заказывает», и помнить, что речь идёт о валовом выпуске и о конечном, а не валовом продукте заказчика. Типичная ошибка — прочитать число как коэффициент прямых затрат или переставить индексы.
11. Какую величину в уравнении межотраслевого баланса X = AX + Y обозначают вектором X?
Разбор вопроса 11
На что опирается вопрос. В уравнении два вектора: один задаёт полный объём производства, другой — то, что остаётся после внутренних расходов.
Как рассуждать. Подумайте, какой величине пропорциональны производственные затраты, раз матрица A умножается именно на этот вектор.
В уравнении участвуют два вектора и одна матрица, и у каждого объекта своя роль. Тот вектор, на который умножается матрица A, определяет масштаб производства: затраты пропорциональны именно ему. Он же стоит в левой части как итог, распадающийся на два слагаемых. Сравнивая варианты, спросите себя, какая величина одновременно и распределяется, и порождает производственный расход. Ошибаются, путая её с тем, что остаётся после вычитания внутренних затрат.
12. Продукция отрасли на 140 единиц израсходована в производстве всех отраслей, а на 60 единиц направлена на конечное использование. Каков валовой выпуск этой отрасли?
Разбор вопроса 12
На что опирается вопрос. Тема — модель Леонтьева «затраты — выпуск». Вспомните, как в уравнении этой модели величина x_i связана с суммой межотраслевых поставок x_ij и с величиной y_i, и соотнесите данные задачи с этими обозначениями.
Как рассуждать. Части целого нужно объединять; варианты, полученные вычитанием или совпадающие с одной из частей, не описывают весь выпуск.
Задача опирается на балансовое равенство для одной отрасли: всё произведённое распределяется между производственным использованием в отраслях и конечным продуктом. Обе части распределения в условии даны, поэтому искомая величина находится одним арифметическим действием. Главное — правильно выбрать это действие: части целого объединяются, а не сравниваются между собой. Ошибка обычно состоит в том, что конечный продукт вычитают из промежуточного потребления или принимают за выпуск одну из частей.
13. Какое свойство обеспечивает разрешимость балансовой модели в неотрицательных выпусках при любом неотрицательном конечном спросе?
Разбор вопроса 13
На что опирается вопрос. Речь идёт о свойстве матрицы A, при котором неотрицательному спросу всегда отвечает неотрицательный вектор выпуска.
Как рассуждать. Отбросьте внешние признаки матрицы и условие, при котором система вообще теряет однозначное решение.
Вопрос касается не формальной, а экономически осмысленной разрешимости: выпуски должны быть неотрицательными при любом неотрицательном спросе. Формальное решение даёт формула с обратной матрицей, однако его знаки зависят от свойств матрицы затрат. Ищите среди вариантов свойство, которое по определению гарантирует неотрицательность решения, а не внешний признак вроде формы матрицы или совпадения чисел. Обратите внимание, что вырожденность E − A, напротив, лишает систему однозначного решения.
14. В одноотраслевой модели коэффициент прямых затрат равен 1,25, а конечный спрос — 10 единиц. Какой вывод следует из решения уравнения баланса?
Разбор вопроса 14
На что опирается вопрос. Одноотраслевая модель сводится к уравнению x = ax + y; важно, как коэффициент a соотносится с единицей.
Как рассуждать. Решите уравнение и посмотрите на знак результата: объём производства не бывает отрицательным.
В одноотраслевой модели уравнение принимает вид x = ax + y, откуда x = y / (1 − a). При коэффициенте, превышающем единицу, знаменатель отрицателен: отрасль расходует собственной продукции больше, чем производит. Формально число найти можно, но оно окажется отрицательным, а выпуск отрицательным быть не может. Оценивайте варианты по тому, учитывают ли они знак результата. Ошибка — отбросить минус и принять модуль за допустимый объём производства.
15. Какой экономический смысл несёт балансовое равенство модели Леонтьева для каждой отрасли?
Разбор вопроса 15
На что опирается вопрос. Тема — содержательное толкование уравнений межотраслевого баланса. Вспомните, какая величина стоит в левой части равенства для i-й отрасли и какие слагаемые образуют правую.
Как рассуждать. Исключите утверждения о финансовых результатах и внешней торговле: модель говорит о том, куда уходит продукция.
Балансовое равенство записывается в натуральном или стоимостном измерении продукции и описывает её распределение, а не финансовые результаты отраслей. Слева стоит всё произведённое, справа — направления использования: расход в производстве всех отраслей и то, что выходит за пределы производственной сферы. Варианты следует сравнивать по тому, говорят ли они о распределении продукции или о деньгах, внешней торговле, рентабельности. Слово «баланс» часто ошибочно понимают в бухгалтерском смысле.
16. Матрица прямых затрат имеет строки (0,1; 0,2) и (0,3; 0,4), валовые выпуски отраслей равны 100 и 200. Чему равен конечный продукт первой отрасли?
Разбор вопроса 16
На что опирается вопрос. Это расчёт по модели Леонтьева при известных валовых выпусках. Сначала найдите, сколько продукции первой отрасли потребляют обе отрасли: для этого нужны первая строка матрицы и оба выпуска.
Как рассуждать. Возьмите первую строку матрицы A, умножьте её элементы на выпуски обеих отраслей и вычтите сумму из выпуска первой отрасли.
Для обратной задачи обращать матрицу не нужно: конечный продукт равен выпуску за вычетом промежуточного потребления, Y = X − AX. Для первой отрасли берут первую строку матрицы A, умножают её элементы на соответствующие выпуски обеих отраслей, складывают и вычитают сумму из выпуска первой отрасли. Проверьте, что учтён расход продукции и внутри самой отрасли, и в соседней. Типичные ошибки — взять столбец вместо строки или забыть одно из слагаемых.
Итог темы
- Уравнение X = AX + Y выражает распределение валового выпуска каждой отрасли на промежуточное потребление и конечный продукт.
- Коэффициент прямых затрат a_ij = x_ij / x_j показывает расход продукции i-й отрасли на единицу выпуска j-й отрасли, а матрица A из таких коэффициентов называется технологической.
- Валовой выпуск по заданному конечному спросу находят по формуле X = (E − A)^(-1) Y, где (E − A)^(-1) — матрица коэффициентов полных затрат.
- Полные затраты включают прямые и косвенные затраты всех порядков, поэтому отличаются от прямых и по смыслу, и по величине.
- Модель имеет экономически осмысленное решение при любом неотрицательном спросе только тогда, когда матрица A продуктивна, то есть (E − A)^(-1) существует и неотрицательна.
Типичные ошибки
- При вычислении a_ij поставку делят на выпуск отрасли-поставщика. Правильно делить на валовой выпуск отрасли-потребителя, на которую указывает второй индекс.
- Матрицу прямых затрат A отождествляют с матрицей полных затрат. Полные затраты задаёт матрица (E − A)^(-1), которая учитывает ещё и косвенные расходы по всей производственной цепочке.
- Векторы X и Y меняют местами и записывают уравнение как Y = AX + X или X = AY. Нужно помнить, что на A умножается валовой выпуск, а конечный продукт — это остаток после вычитания промежуточного потребления.
- Продуктивность проверяют только по условию, что определитель E − A отличен от нуля. Кроме существования обратной матрицы требуется неотрицательность всех её элементов, иначе выпуски могут получиться отрицательными.
- В достаточном признаке продуктивности складывают элементы строк, не обращая внимания на то, что они выражают. Обычно признак применяют к столбцам, потому что столбец описывает затраты на единицу выпуска одной отрасли и его сумма должна быть меньше единицы.